排列组合：超级神奇的技巧+思想,秒杀一类头疼的题型

帮少

先上公式

N个相同元素分为M堆，每堆至少x个，可以分为 C_{(N-1）+M(1-x)}^{M-1}鉴于公式不好理解，下面有一个顺口溜仅供参考
一个顺口溜：
比1大-，比1小+
一共几个+-差的几倍

<hr/>看文章之前看一下以下题目你是否会做:
1.a+b+c+d=10该方程的正整数解有多少种？非负整数解又有多少种？
2.将10本相同的书分给4个班级，要求每个班级至少两本书，共有多少种排列方法？
3将十个相同小球中放入1、2、3三个盒子 小球数目不得少于该盒子的编号，有多少种放法？
如果思路清晰的话就不用向下看啦~
<hr/>

怎么样？有没有什么思路！如果没有，请读三遍一下我标黑的两个词“相同”“至少”你有没有联想到什么呢？！对啦，就是-----隔板法。

隔板法定义：n个相同的元素分为m堆，每堆至少一个，则有 C_{N-1}^{M-1} 种方法

逐 个 扣 字：
①有若干个相同的元素；如果题目是把四本不同的书送到三个不同的地方中则不可以用隔板法。
②每组中至少有一个元素；即我们之后要说的“空箱”“至少n个”不可以直接用公式解决。
③元素不能有剩余。
鉴于有些同学不懂隔板法，我介绍一下：


来一道最简单隔板法试试手：

10个相同的小球放入8个盒子中，每个盒子中至少一个，几种方法？
C_{9}^{7}
再来一道有点点点点绕的：

例一： a+b+c+d=10的正整数解有多少个？
我们可以理解为有10个相同的1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将其分为4组，有多少种方法？ C_{9}^{3}
千万注意，这里就不要排列了！！不要乘A（排列数）了！！！！

<hr/>下面就是升级版（）：

1.至少有多个
2.空盒问题
3.每个盒子里最少的数量不同

在以上三种题型中，不难发现，题目的要求从至少一个变成至少0个或至少多个。可以用映射的思想（评论区留言），下面我解释一下


或者可以用换元法理解：




如果仍然不懂，我们可以直接套口诀

有n个盒子，每个至少1+x个，则球的总个数减去nx，再使用最基本的公式。
有n个盒子，每个至少0个（可以空盒），则球的总个数加nx，再使用最基本的公式。
<hr/>
至少有多个

例二:将10本相同的书分给4个班级，要求每个班级至少两本书，一共有多少种排列方法？

原题可等价为 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10（ x\geq2 ）这样的解有多少个(x分别代表分给每个班书的数目)

x\geq2 \Rightarrow x-1 \geq1 （使用条件） 令x-1=y （y \geq 1）
方程等价为 y_{1}+1+y_{2}+1+y_{3}+1+y_{4}+1=10
化简得y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=6
即将6本相同书分给4个班级，每班至少1本= C_{5}^{3}
口诀：至少2个，比至少一个多1个，有四个盒子，10本书，即10-1*4=6。
等价于6个相同的书分给4个班级，每个班级至少一个。
<hr/>空盒

（至少放入0个即可以没有）

a+b+c+d=10的非负整数解有多少个？（要求每一个数字≥0）
a≥0-----a+1≥1------设A=a+1(A≥1)同理，换元另几个字母
得到A-1+B-1+C-1+D-1=10
A+B+C+D=14-----------有 C _{13}^{3} 种方法
口诀：至少0个，比1小1，一共4个盒子，10个球。即10+1*4=14。
等价于：14个球放四个盒子，每个盒子至少一个。
类似：现有8个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，允许出现空盒，问有多少种不同的放法？
<hr/>每组至少放的个数不同

.将10个小球分别放入编号为1.2.3的盒子中，要求每个盒子里的小球数目不得少于该盒子的编号，有多少种放法？
等价为a+b+c=10 (a≥1)(b≥2)(c≥3)
换元：a本身就符合条件，不用换元;B=b-1;C=c-2
a+B+1+C+2=10---------------a+B+C=7--------- C_{6}^{2}
口诀：一个盒子至少一个，一个至少需要比1大1，一个至少需要比1大2。10-0-1-2=7
等价于7个小球放3个盒子，每个至少一个。

OKOKOK到此就结束啦~~第一次写文章，写给高三的自己看，同时锻炼自己的文笔hhhhhQ^Q
<hr/>不求三连只求关注，一起见证你我的进步，加油呀，一起去更远的地方

假药贩子

非常实用的干货！码了码了

最是忆江南

行文

世问

其实核心就是x1+x2+…+xn=m的正整数解的个数问题，可以用插板法解决

名仕

是的嗷，隔板法的升级版plush

乡村男孩

同高三 感觉用一个一一映射对应一下可以解释得更清楚一些

沈启忠

题主，这个隔板法的具体操作原理是什么啊？公式理解不了啊[大哭]

任术明

我已经重新改了一边，你看一看呀

死亦是生

已经采纳！